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邻接表的存储结构

邻接表是一种有效地表示图的数据结构，常用于存储无向图或有向图的边和顶点信息。每个顶点通过一个链表头指针（Adjacency List）来连接到它的相邻顶点。这种结构允许在常数时间内访问任意顶点的相邻顶点，以支持各种图的遍历和算法操作。

邻接表的构造

邻接表的构造可以分为顶点初始化和边插入两个主要步骤：

图的遍历

遍历图是根据特定条件（如深度优先或广度优先）访问所有顶点的操作。以下是两种常见遍历方式的实现：

深度优先遍历（Depth-First Search, DFS）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void DFS(ALGraph G, int v, int visited[]) {    if visited[v] is 0:        visited[v] = 1        for each neighbor w of v:            if not visited[w]:                DFS(G, w, visited)}void DFSTravel(ALGraph G) {    // 初始化所有顶点为未访问状态    visited[0...N] = 0    for i from 0到N-1:        如果顶点i未被访问：            printf("访问顶点")[i]            DFS(G, i, visited)}

广度优先遍历（Breadth-First Search, BFS）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void BFSTravel(ALGraph G) {    // 初始化队列    queue = []    for all vertices v:        if v未被访问:            将v加入队列    while 队列不为空:        从队列尾部取出顶点v        访问v        for all neighbors w of v:            如果w未被访问：                将w加入队列                标记w为已访问    }}

图的常见算法

以下是用于图操作的几种常见算法：

最小生成树

普利姆算法（Prim）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void MiniTree_Prim(ALGraph G, int v) {    // 初始化    int visited[N] = 0    for i from 0到N-1:        closedge[i] = {lowcost: MAX, vex: v_i}    // 总数顶点或边数    while 队列中有未访问顶点：        选择closedge[i].lowcost最小的顶点k        将k加入树        对所有顶点k的邻接边进行更新}

拓扑排序

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void TopologicalSort(ALGraph G) {    int indegree[N] = 0    for i从0到N-1:        for all edges (u, v) 包含顶点i:            indegree[v] += 1    int stack[N]    for i从0到N-1：        如果indegree[i] == 0:            将i加入栈    int count = 0    while栈不为空：        v = 栈顶        将v加入输出序列        for all neighbors u of v:            indegree[u] -= 1            如果indegree[u] == 0:                将u加入栈        v = pop

关键路径问题（AOE-网）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void TopologicalOrder(ALGraph G) {    // 和拓扑排序相同}void CriticalPath(ALGraph G) {    // 计算关键路径}

最短路径问题

迪杰斯特拉算法（Dijkstra）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void ShortestPath_DIJ(ALGraph G, int v0) {    // 初始化最短距离数组    D[0...N] = {INF, INF, ..., INF}    D[v0] = 0    // 初始化优先队列    for i from 0到N-1:        if i == v0:            D[i] = 0        else:            D[i] = INF    while队列不为空:        u 取出优先队列        for all neighbors v of u:            if D[v] > D[u] + 边权：                D[v] = D[u] + 边权                将v加入优先队列}

弗洛伊德算法（Floyd）

算法思想：

代码示例（伪代码）：

void ShortestPath_FLOYD(ALGraph G) {    // 初始化距离矩阵    D[0...N][0...N] = {INF, INF, ..., INF}    for i从0到N-1:        D[i][i] = 0    // 求所有顶点对之间的最短路径    for k从0到N-1:        for i从0到N-1:            for j从0到N-1:                如果 D[i][k] + 边权 < D[i][j]:                    D[i][j] = D[i][k] + 边权}

总结

邻接表是图的常用存储结构，支持多种图算法的实现。通过深度优先搜索和广度优先搜索，能够高效地遍历图中的所有顶点。同时，普利姆、克鲁斯卡尔、拓扑排序等算法为图的其他操作提供了强有力的支持。这些算法的理解和应用是图论课程的核心内容，并在实际项目中具有重要的应用价值。

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